カオス理論:カオス的挙動とランダムな挙動の違いは何ですか?


答え 1:

短い話は次のとおりです。ランダムな振る舞いは非決定的です。特定の時間にシステムについて完全に詳細に知ることができるものをすべて知っていても、将来の状態を予測することはできません。一方、カオス的挙動は、初期状態を完全に詳細に把握していれば完全に決定的ですが、初期状態の不正確さは、どんなに小さくても、時間とともに急速に(指数関数的に)成長します。

ランダムシステム

コイントスや宝くじは、ランダムシステムの例です[*]。コインを百万回投げて、毎回結果を知ることはできますが、次の投げの結果を予測することはまったく役に立ちません。同様に、宝くじに当選した数字の完全な履歴を知ることはできますが、宝くじに当選するのに役立ちません。 (これが驚くべきことに聞こえる場合は、ギャンブラーの誤acyを参照してください。)

[*]ここでは、ランダム性が顕在化する理想的なシステムについて言及しています。

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

これをより直感的にするために、酔っぱらいを見つけようとすることを想像してください。彼は真夜中にバーを出て、あなたは彼を1時間後に探しています。彼は酔っているので、彼はあてもなく歩き、あなたは彼がどこにいるかを正確に知ることができなくなります。しかし、彼が毎秒1歩のペースで歩くことを知っており、各歩が完全にランダムな新しい方向に進むと仮定すると、1時間後には60歩(おそらく100歩)を超えることはできません。足)離れたところから。

カオス系

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(ウィキペディアから)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

聖なるモリー!ポイントはあちこちにあります!これが意味することは、2つの非常によく似た初期条件から始めましたが、2つのシーケンスは似ていないことです。それはカオスです。

カオスとランダムネスを区別する

ランダムな数字とランダムな数字を区別することは実際には重要です。たとえば、コイントスの結果が次のようになっていると仮定します(1はヘッド、0はテール):[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1](14個)。これはランダムに見えますか?そうではないと確信しています。それでも、シーケンスは、真の乱数ジェネレーター(random.org)を使用して生成された1万コイントスに2回現れることが正確にわかりました。同じ1万コインのトスには、シーケンス[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0]が2回、[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]( 18ゼロ)一度。もちろん、これらの発生はまれです(長さ14の任意のシーケンスを考えると、約16000のドローの1つに表示されると予想されます)が、同時に、10000のサンプルを使用して、それらを見つけます。ただし、ポイントは、誰かがランダムシーケンスからサンプルを提供した場合、サンプル自体については、サンプルの起源がランダムプロセスであるかどうかを示すことはできないということです。

次に、上記で示したシーケンスとこれを比較します。[1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0]このシーケンスはよりランダムに見えますよね?まあ、それは私のコンピューターの擬似ランダムジェネレーターで生成されました。つまり、カオスシステムのダイナミクスから実際に決定論的に計算されます。これは、システムの正確な状態がわからない場合に得られるものと「真の」ランダム性を区別することが難しいことを示しています。

予測不能

ランダム性と予測不能性を混同しないことが重要です。ランダムな振る舞いは厳密な意味では予測できません(完全な予測はできません)が、高度な精度で予測できます(以前に書いたランダムウォークの場合のように)。逆に、予測不能性はランダム性(放射性崩壊がいつ起こるかを正確に予測できないなど)が原因である可能性がありますが、ほとんどの場合、システムの初期状態を十分に正確に測定し、それを十分に正確に追跡できないためです(天気予報の場合や、海岸に打ち寄せる波から一滴の水が落ちる場所を予測しようとしている場合(これは、今のところ参照先が見つからないファインマンによる例です))。


答え 2:

この質問に対するカオス理論とランダム性の優れた説明がいくつかありますが、おそらくカオス理論の概念フレームワークは多くの異なる分野で非常に価値があることに注意する価値があるかもしれません。特に経済学とビジネスの分野では、相互作用する要因が多すぎて結果を予測できない複雑な状況を戦略家がある程度制御する必要がある分野です。

自然は、カオス理論の概念フレームワークを使用して最適に効率的な生物学的システムを作成する戦略家の代表的な例です。カオス理論を有効に使用する鍵は、相互作用する多数の要素で構成される動的システムに関係していることを理解することです。このようなシステムは基本的な物理法則に従い、常に安定した状態(少なくともエネルギー)に落ち着こうとします。この定常状態は予測できませんが、コンポーネントの相互作用のさまざまなバリエーションにわたって維持できます。

カオス理論では、コンポーネントの相互作用がクリティカルなしきい値に達すると、システムはカオスになり、その後、新しい異なる定常状態に落ち着くことがわかります。自然はこの現象を利用して進化の進歩を呼び起こします。生物学的システムでは遺伝的変異はほとんど許容されますが、生物学的システムが著しく異なって機能するようにするには、時々遺伝的変化で十分です。これは良くも悪くもなります。生物学的システム間の競争により、より良く変化するシステムが保存され、劣った変化が失われます。

カオス理論については何も知らないかもしれませんが、賢明な経済学者やビジネスマンはこの現象を認識しており、システムが振る舞い方をしているとき、システムを変更して新しい状態に変えます。彼らは結果として生じる短期的なカオスを処理するのに十分な勇気が必要であり、状況が悪化した状態に落ち着いた場合は変更を終了する準備ができていますが、これが複雑なシステムに対処して制御できる唯一の方法です。私たちの政治家がカオス理論で学んでいないことは何と残念なことでしょう。


答え 3:

おそらく基本的な意味では違いはありませんが、

つまり、自然には真のランダム性などは存在しません。

ランダム性の程度は、

現象のエントロピーの程度。問題は完璧です

ランダム性には情報内容が一切含まれていないため、

それ自体が情報です。一種のパラドックス。


答え 4:

おそらく基本的な意味では違いはありませんが、

つまり、自然には真のランダム性などは存在しません。

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答え 5:

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答え 6:

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答え 8:

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答え 9:

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答え 10:

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つまり、自然には真のランダム性などは存在しません。

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答え 11:

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答え 12:

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答え 13:

おそらく基本的な意味では違いはありませんが、

つまり、自然には真のランダム性などは存在しません。

ランダム性の程度は、

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ランダム性には情報内容が一切含まれていないため、

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